Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 a}{a - b} + \frac{a b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{5 a}{a - b} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 a}{a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{5 a}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - b) (a + b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{5 a}{a - b}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{5 a (a + b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{5 a (a + b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 a (a + b) + a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a$ à partir de $5 a (a + b) + a b$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a$ à partir de $5 a (a + b)$ .

$\frac{a (5 (a + b)) + a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a$ à partir de $a b$ .

$\frac{a (5 (a + b)) + a (b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 5.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a (5 (a + b)) + a (b)$ .

$\frac{a (5 (a + b) + b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (5 a + 5 b + b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 5.3

Additionnez $5 b$ et $b$ .

$\frac{a (5 a + 6 b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{4 b}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{a (5 a + 6 b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{4 b}{a + b}$ par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{a (5 a + 6 b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (5 a + 6 b) + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (5 a) + a (6 b) + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a \cdot a + a (6 b) + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a \cdot a + 6 a b + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.1

Déplacez $a$ .

$\frac{5 (a \cdot a) + 6 a b + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 \cdot - 1 b \cdot b}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.7.1

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.7.1.1

Déplacez $b$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 \cdot - 1 (b \cdot b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.7.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a + 4 \cdot - 1 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 b a - 4 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.8

Additionnez $6 a b$ et $4 b a$ .

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Étape 8.8.1

Déplacez $b$ .

$\frac{5 a^{2} + 6 a b + 4 a b - 4 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 8.8.2

Additionnez $6 a b$ et $4 a b$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - 4 b^{2}}{(a + b) (a - b)}$